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B: matrix ([b1, 0], [...

D: matrix ([d1, 0], [...

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B: matrix([m11,m12,m1...

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H: matrix ([h1, h2], ...

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B: matrix ([b1, 0], [...

D: matrix ([d1, 0], [...

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mat_trace

Run Example
(%i1)H: matrix ([h11, h12], [h21, h22]);
                                 [ h11  h12 ]
(%o1)                            [          ]
                                 [ h21  h22 ]
(%i2) B: matrix ([b1, 0], [0, b2]);
                                  [ b1  0  ]
(%o2)                             [        ]
                                  [ 0   b2 ]
(%i3) D: matrix ([d1, 0], [0, d2]);
                                  [ d1  0  ]
(%o3)                             [        ]
                                  [ 0   d2 ]
(%i4) A: H . B . transpose (H) . D;
       [             2            2                                   ]
       [    b2 d1 h12  + b1 d1 h11      b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21 ]
(%o4)  [                                                              ]
       [                                            2            2    ]
       [ b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21     b2 d2 h22  + b1 d2 h21     ]
(%i5) expand(mat_trace(A^3));
        3   3    6          2   3    2    4       2      3    4    2
(%o5) b2  d2  h22  + 3 b1 b2  d2  h21  h22  + 3 b1  b2 d2  h21  h22
     3   3    6     3   3    6          2   3    2    4
 + b1  d2  h21  + b2  d1  h12  + 3 b1 b2  d1  h11  h12
       2      3    4    2     3   3    6
 + 3 b1  b2 d1  h11  h12  + b1  d1  h11
(%i6) 
Run Example
H: matrix ([h11, h12], [h21, h22]);
                                 [ h11  h12 ]
(%o1)                            [          ]
                                 [ h21  h22 ]
(%i2) B: matrix ([b1, 0], [0, b2]);
                                  [ b1  0  ]
(%o2)                             [        ]
                                  [ 0   b2 ]
(%i3) D: matrix ([d1, 0], [0, d2]);
                                  [ d1  0  ]
(%o3)                             [        ]
                                  [ 0   d2 ]
(%i4) A: H . B . transpose (H) . D;
       [             2            2                                   ]
       [    b2 d1 h12  + b1 d1 h11      b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21 ]
(%o4)  [                                                              ]
       [                                            2            2    ]
       [ b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21     b2 d2 h22  + b1 d2 h21     ]
(%i5) C: A . A;
(%o5) matrix([(b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21) (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21)
             2            2 2
 + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 ) , (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21)
           2            2              2            2
 (b2 d2 h22  + b1 d2 h21 ) + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 )
 (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21)], [(b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21)
           2            2              2            2
 (b2 d2 h22  + b1 d2 h21 ) + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 )
                                            2            2 2
 (b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21), (b2 d2 h22  + b1 d2 h21 )
 + (b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21) (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21)])
(%i6) expand(mat_trace(C));
        2   2    4             2    2    2       2          2    2
(%o6) b2  d2  h22  + 2 b1 b2 d2  h21  h22  + 2 b2  d1 d2 h12  h22
                                     2   2    4       2          2    2
 + 4 b1 b2 d1 d2 h11 h12 h21 h22 + b1  d2  h21  + 2 b1  d1 d2 h11  h21
     2   2    4             2    2    2     2   2    4
 + b2  d1  h12  + 2 b1 b2 d1  h11  h12  + b1  d1  h11
(%i7) 
Run Example
H: matrix ([h11, h12], [h21, h22]);
                                 [ h11  h12 ]
(%o1)                            [          ]
                                 [ h21  h22 ]
(%i2) B: matrix ([b1, 0], [0, b2]);
                                  [ b1  0  ]
(%o2)                             [        ]
                                  [ 0   b2 ]
(%i3) D: matrix ([d1, 0], [0, d2]);
                                  [ d1  0  ]
(%o3)                             [        ]
                                  [ 0   d2 ]
(%i4) A: H . B . transpose (H) . D;
       [             2            2                                   ]
       [    b2 d1 h12  + b1 d1 h11      b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21 ]
(%o4)  [                                                              ]
       [                                            2            2    ]
       [ b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21     b2 d2 h22  + b1 d2 h21     ]
(%i5) s1: mat_trace(A);
                        2            2            2            2
(%o5)          b2 d2 h22  + b1 d2 h21  + b2 d1 h12  + b1 d1 h11
(%i6) s2: mat_trace(A . A);
                2            2 2
(%o6) (b2 d2 h22  + b1 d2 h21 )  + 2 (b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21)
                                                               2            2 2
                   (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21) + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 )
(%i7) s3: mat_trace(A . A . A);
                2            2             2            2 2
(%o7) (b2 d2 h22  + b1 d2 h21 ) ((b2 d2 h22  + b1 d2 h21 )
 + (b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21) (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21))
 + (b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21) ((b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21)
           2            2              2            2
 (b2 d2 h22  + b1 d2 h21 ) + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 )
 (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21)) + (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21)
                                            2            2
 ((b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21) (b2 d2 h22  + b1 d2 h21 )
             2            2
 + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 ) (b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21))
             2            2
 + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 ) ((b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21)
                                             2            2 2
 (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21) + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 ) )
(%i8) Z3: s1^3 + (6 . s1 . s2) + (8 . s3);
                   2            2            2            2
(%o8) 6 ((b2 d2 h22  + b1 d2 h21  + b2 d1 h12  + b1 d1 h11 )
              2            2 2
 . ((b2 d2 h22  + b1 d2 h21 )  + 2 (b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21)
                                             2            2 2
 (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21) + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 ) ))
             2            2            2            2 3
 + (b2 d2 h22  + b1 d2 h21  + b2 d1 h12  + b1 d1 h11 )
                2            2             2            2 2
 + 8 ((b2 d2 h22  + b1 d2 h21 ) ((b2 d2 h22  + b1 d2 h21 )
 + (b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21) (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21))
 + (b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21) ((b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21)
           2            2              2            2
 (b2 d2 h22  + b1 d2 h21 ) + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 )
 (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21)) + (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21)
                                            2            2
 ((b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21) (b2 d2 h22  + b1 d2 h21 )
             2            2
 + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 ) (b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21))
             2            2
 + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 ) ((b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21)
                                             2            2 2
 (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21) + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 ) ))
(%i9) S: h11 . Z3;
                          2            2            2            2
(%o9) h11 . (6 ((b2 d2 h22  + b1 d2 h21  + b2 d1 h12  + b1 d1 h11 )
              2            2 2
 . ((b2 d2 h22  + b1 d2 h21 )  + 2 (b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21)
                                             2            2 2
 (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21) + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 ) ))
             2            2            2            2 3
 + (b2 d2 h22  + b1 d2 h21  + b2 d1 h12  + b1 d1 h11 )
                2            2             2            2 2
 + 8 ((b2 d2 h22  + b1 d2 h21 ) ((b2 d2 h22  + b1 d2 h21 )
 + (b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21) (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21))
 + (b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21) ((b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21)
           2            2              2            2
 (b2 d2 h22  + b1 d2 h21 ) + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 )
 (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21)) + (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21)
                                            2            2
 ((b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21) (b2 d2 h22  + b1 d2 h21 )
             2            2
 + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 ) (b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21))
             2            2
 + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 ) ((b2 d1 h12 h22 + b1 d1 h11 h21)
                                             2            2 2
 (b2 d2 h12 h22 + b1 d2 h11 h21) + (b2 d1 h12  + b1 d1 h11 ) )))
(%i10) subst(0,b1,S);
                           2            2
(%o10) h11 . (6 ((b2 d2 h22  + b2 d1 h12 )
      2   2    4       2          2    2     2   2    4
 . (b2  d2  h22  + 2 b2  d1 d2 h12  h22  + b2  d1  h12 ))
             2            2 3               2
 + (b2 d2 h22  + b2 d1 h12 )  + 8 (b2 d2 h22
    2   2    4     2          2    2
 (b2  d2  h22  + b2  d1 d2 h12  h22 ) + b2 d1 h12 h22
    2   2        3     2          3
 (b2  d2  h12 h22  + b2  d1 d2 h12  h22)
                    2              3     2   2    3
 + b2 d2 h12 h22 (b2  d1 d2 h12 h22  + b2  d1  h12  h22)
            2    2          2    2     2   2    4
 + b2 d1 h12  (b2  d1 d2 h12  h22  + b2  d1  h12 )))
(%i11) 

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