euler(2);

Calculate

euler(4);

Calculate

euler(-2);

Calculate

euler(-2);

Calculate

euler(4);

Calculate

euler(1);

Calculate

euler(35);

Calculate

euler(1);

Calculate

euler(1);

Calculate

euler(12);

Calculate

### euler

Run Example
```(%i1)eqn:(Dy)^2+y^2+4*y*exp(x)-x*sin(x);
2       x                  2
(%o1)                    y  + 4 %e  y - x sin(x) + Dy
(%i2) h:diff(eqn,y);
x
(%o2)                             2 y + 4 %e
(%i3)  h1:diff(eqn,Dy);
(%o3)                                2 Dy
(%i4)  euler:h-(diff(h1, x) + diff(h1, y)*Dy+diff(h1, Dy)*'diff(Dy, x))=0;
x     dDy
(%o4)                       2 y + 4 %e  - 2 --- = 0
dx
(%i5) eqn1:subst(Dy='diff(y, x), euler);
2
d y             x
(%o5)                      - 2 --- + 2 y + 4 %e  = 0
2
dx
(%i6)  sol:ode2(eqn1, y, x);
x
(2 x - 1) %e          x         - x
(%o6)               y = ------------- + %k1 %e  + %k2 %e
2
(%i7) extr:bc2(sol, x=-1, y=1, x=1, y=3);
x      3       2               x      2           - x
(2 x - 1) %e    (%e  - 5 %e  - 5 %e - 3) %e    (%e  + 3 %e) %e
(%o7) y = ------------- - ---------------------------- + ------------------
2               3       2                  3     2
2 %e  + 2 %e  + 2 %e + 2     %e  + %e  + %e + 1
(%i8) x1:-1;
(%o8)                                 - 1
(%i9) y1:1;
(%o9)                                  1
(%i10) x2:1;
(%o10)                                 1
(%i11) y2:3;
(%o11)                                 3
(%i12) b0:y1+(y2-y1)*(x-x1)/(x2-x1);
(%o12)                               x + 2
(%i13)  b(k):=sin(k*%pi*(x-x1)/(x2-x1));
k %pi (x - x1)
(%o13)                    b(k) := sin(--------------)
x2 - x1
(%i14) yr:b0+a1*b(1)+a2*b(2)+a3*b(3)+a4*b(4)+a5*b(5)+a6*b(6);
5 %pi (x + 1)
(%o14) a6 sin(3 %pi (x + 1)) + a5 sin(-------------) + a4 sin(2 %pi (x + 1))
2
3 %pi (x + 1)                                 %pi (x + 1)
+ a3 sin(-------------) + a2 sin(%pi (x + 1)) + a1 sin(-----------) + x + 2
2                                            2
(%i15) Dyr:diff(yr,x);
5 %pi (x + 1)
5 %pi a5 cos(-------------)
2
(%o15) 3 %pi a6 cos(3 %pi (x + 1)) + ---------------------------
2
3 %pi (x + 1)
3 %pi a3 cos(-------------)
2
+ 2 %pi a4 cos(2 %pi (x + 1)) + ---------------------------
2
%pi (x + 1)
%pi a1 cos(-----------)
2
+ %pi a2 cos(%pi (x + 1)) + ----------------------- + 1
2
(%i16) Fyr:subst([y=yr, Dy=Dyr],eqn);
5 %pi (x + 1)
(%o16) expt(a6 sin(3 %pi (x + 1)) + a5 sin(-------------)
2
3 %pi (x + 1)
+ a4 sin(2 %pi (x + 1)) + a3 sin(-------------) + a2 sin(%pi (x + 1))
2
%pi (x + 1)                    x
+ a1 sin(-----------) + x + 2, 2) + 4 %e
2
5 %pi (x + 1)
(a6 sin(3 %pi (x + 1)) + a5 sin(-------------) + a4 sin(2 %pi (x + 1))
2
3 %pi (x + 1)                                 %pi (x + 1)
+ a3 sin(-------------) + a2 sin(%pi (x + 1)) + a1 sin(-----------) + x + 2)
2                                            2
5 %pi (x + 1)
5 %pi a5 cos(-------------)
2
+ expt(3 %pi a6 cos(3 %pi (x + 1)) + ---------------------------
2
3 %pi (x + 1)
3 %pi a3 cos(-------------)
2
+ 2 %pi a4 cos(2 %pi (x + 1)) + ---------------------------
2
%pi (x + 1)
%pi a1 cos(-----------)
2
+ %pi a2 cos(%pi (x + 1)) + ----------------------- + 1, 2) - x sin(x)
2
(%i17) iyr:integrate(Fyr,x,-1,1);
15                  13                  11
(%o17) ((4374000 %e %pi   + 26579340 %e %pi   + 42899220 %e %pi
9                 7                 5                3
+ 28459860 %e %pi  + 9154860 %e %pi  + 1506960 %e %pi  + 121920 %e %pi
2                2                          12
+ 3840 %e %pi) a6  + ((- 648000 %e  - 648000 %e + 648000) %pi
2                            10
+ (- 3793680 %e  - 3865680 %e + 3793680) %pi
2                            8
+ (- 5504400 %e  - 5925920 %e + 5504400) %pi
2                            6
+ (- 2946240 %e  - 3557840 %e + 2946240) %pi
2                          4
+ (- 633600 %e  - 960960 %e + 633600) %pi
2                         2
+ (- 46080 %e  - 116480 %e + 46080) %pi  - 5120 %e) a6
15                  13                  11                  9
+ (3037500 %e %pi   + 18606375 %e %pi   + 30677010 %e %pi   + 21121815 %e %pi
7                 5                3                  2
+ 7172880 %e %pi  + 1266720 %e %pi  + 111360 %e %pi  + 3840 %e %pi) a5
2                           12
+ ((777600 %e  + 1555200 %e + 777600) %pi
2                            10
+ (4514400 %e  + 9277632 %e + 4514400) %pi
2                             8
+ (6388800 %e  + 14222208 %e + 6388800) %pi
2                            6
+ (3247200 %e  + 8538816 %e + 3247200) %pi
2                           4
+ (633600 %e  + 2306304 %e + 633600) %pi
2                         2
+ (38400 %e  + 279552 %e + 38400) %pi  + 12288 %e) a5
15                  13                  11                  9
+ (1944000 %e %pi   + 12083040 %e %pi   + 20677020 %e %pi   + 15117960 %e %pi
7                 5                3                  2
+ 5551260 %e %pi  + 1070160 %e %pi  + 102720 %e %pi  + 3840 %e %pi) a4
2                          12
+ ((- 972000 %e  - 972000 %e + 972000) %pi
2                            10
+ (- 5555520 %e  - 5798520 %e + 5555520) %pi
2                            8
+ (- 7500000 %e  - 8888880 %e + 7500000) %pi
2                            6
+ (- 3461760 %e  - 5336760 %e + 3461760) %pi
2                           4
+ (- 576000 %e  - 1441440 %e + 576000) %pi
2                         2
+ (- 30720 %e  - 174720 %e + 30720) %pi  - 7680 %e) a4
15                 13                  11                  9
+ (1093500 %e %pi   + 7009335 %e %pi   + 12899250 %e %pi   + 10448295 %e %pi
7                5               3                  2
+ 4290000 %e %pi  + 917280 %e %pi  + 96000 %e %pi  + 3840 %e %pi) a3
2                            12
+ ((1296000 %e  + 2592000 %e + 1296000) %pi
2                             10
+ (7155360 %e  + 15462720 %e + 7155360) %pi
2                             8
+ (8671680 %e  + 23703680 %e + 8671680) %pi
2                             6
+ (3261600 %e  + 14231360 %e + 3261600) %pi
2                           4
+ (472320 %e  + 3843840 %e + 472320) %pi
2                         2
+ (23040 %e  + 465920 %e + 23040) %pi  + 20480 %e) a3
15                 13                 11                 9
+ (486000 %e %pi   + 3385260 %e %pi   + 7343700 %e %pi   + 7112820 %e %pi
7                5               3                  2
+ 3389100 %e %pi  + 808080 %e %pi  + 91200 %e %pi  + 3840 %e %pi) a2
2                            12
+ ((- 1944000 %e  - 1944000 %e + 1944000) %pi
2                             10
+ (- 9653040 %e  - 11597040 %e + 9653040) %pi
2                             8
+ (- 8124720 %e  - 17777760 %e + 8124720) %pi
2                             6
+ (- 2548800 %e  - 10673520 %e + 2548800) %pi
2                           4
+ (- 334080 %e  - 2882880 %e + 334080) %pi
2                         2
+ (- 15360 %e  - 349440 %e + 15360) %pi  - 15360 %e) a2
15                 13                 11                 9
+ (121500 %e %pi   + 1210815 %e %pi   + 4010370 %e %pi   + 5111535 %e %pi
7                5               3                  2
+ 2848560 %e %pi  + 742560 %e %pi  + 88320 %e %pi  + 3840 %e %pi) a1
2                            12
+ ((3888000 %e  + 7776000 %e + 3888000) %pi
2                             10
+ (7642080 %e  + 46388160 %e + 7642080) %pi
2                             8
+ (4987200 %e  + 71111040 %e + 4987200) %pi
2                             6
+ (1398240 %e  + 42694080 %e + 1398240) %pi
2                            4
+ (172800 %e  + 11531520 %e + 172800) %pi
2                         2
+ (7680 %e  + 1397760 %e + 7680) %pi  + 61440 %e) a1
13                 11                 9                 7
+ (- 972000 %e %pi   - 5798520 %e %pi   - 8888880 %e %pi  - 5336760 %e %pi
5                3
- 1441440 %e %pi  - 174720 %e %pi  - 7680 %e %pi) sin(1)
13                 11                 9                 7
+ (972000 %e %pi   + 5798520 %e %pi   + 8888880 %e %pi  + 5336760 %e %pi
5                3
+ 1441440 %e %pi  + 174720 %e %pi  + 7680 %e %pi) cos(1)
2                  13               2                   11
+ (3888000 %e  + 5184000 %e) %pi   + (23194080 %e  + 30925440 %e) %pi
2                   9               2                   7
+ (35555520 %e  + 47407360 %e) %pi  + (21347040 %e  + 28462720 %e) %pi
2                  5             2                 3
+ (5765760 %e  + 7687680 %e) %pi  + (698880 %e  + 931840 %e) %pi
2                                13                 11
+ (30720 %e  + 40960 %e) %pi)/(486000 %e %pi   + 2899260 %e %pi
9                 7                5               3
+ 4444440 %e %pi  + 2668380 %e %pi  + 720720 %e %pi  + 87360 %e %pi
+ 3840 %e %pi)
(%i18) eq1:diff(iyr,a1)=0;
15                 13                 11
(%o18) (2 (121500 %e %pi   + 1210815 %e %pi   + 4010370 %e %pi
9                 7                5               3
+ 5111535 %e %pi  + 2848560 %e %pi  + 742560 %e %pi  + 88320 %e %pi
2                            12
+ 3840 %e %pi) a1 + (3888000 %e  + 7776000 %e + 3888000) %pi
2                             10
+ (7642080 %e  + 46388160 %e + 7642080) %pi
2                             8
+ (4987200 %e  + 71111040 %e + 4987200) %pi
2                             6
+ (1398240 %e  + 42694080 %e + 1398240) %pi
2                            4
+ (172800 %e  + 11531520 %e + 172800) %pi
2                         2
+ (7680 %e  + 1397760 %e + 7680) %pi  + 61440 %e)
13                 11                 9                 7
/(486000 %e %pi   + 2899260 %e %pi   + 4444440 %e %pi  + 2668380 %e %pi
5               3
+ 720720 %e %pi  + 87360 %e %pi  + 3840 %e %pi) = 0
(%i19) eq2:diff(iyr,a2)=0;
15                 13                 11
(%o19) (2 (486000 %e %pi   + 3385260 %e %pi   + 7343700 %e %pi
9                 7                5               3
+ 7112820 %e %pi  + 3389100 %e %pi  + 808080 %e %pi  + 91200 %e %pi
2                            12
+ 3840 %e %pi) a2 + (- 1944000 %e  - 1944000 %e + 1944000) %pi
2                             10
+ (- 9653040 %e  - 11597040 %e + 9653040) %pi
2                             8
+ (- 8124720 %e  - 17777760 %e + 8124720) %pi
2                             6
+ (- 2548800 %e  - 10673520 %e + 2548800) %pi
2                           4
+ (- 334080 %e  - 2882880 %e + 334080) %pi
2                         2
+ (- 15360 %e  - 349440 %e + 15360) %pi  - 15360 %e)
13                 11                 9                 7
/(486000 %e %pi   + 2899260 %e %pi   + 4444440 %e %pi  + 2668380 %e %pi
5               3
+ 720720 %e %pi  + 87360 %e %pi  + 3840 %e %pi) = 0
(%i20) eq3:diff(iyr,a3)=0;
15                 13                  11
(%o20) (2 (1093500 %e %pi   + 7009335 %e %pi   + 12899250 %e %pi
9                 7                5               3
+ 10448295 %e %pi  + 4290000 %e %pi  + 917280 %e %pi  + 96000 %e %pi
2                            12
+ 3840 %e %pi) a3 + (1296000 %e  + 2592000 %e + 1296000) %pi
2                             10
+ (7155360 %e  + 15462720 %e + 7155360) %pi
2                             8
+ (8671680 %e  + 23703680 %e + 8671680) %pi
2                             6
+ (3261600 %e  + 14231360 %e + 3261600) %pi
2                           4
+ (472320 %e  + 3843840 %e + 472320) %pi
2                         2
+ (23040 %e  + 465920 %e + 23040) %pi  + 20480 %e)
13                 11                 9                 7
/(486000 %e %pi   + 2899260 %e %pi   + 4444440 %e %pi  + 2668380 %e %pi
5               3
+ 720720 %e %pi  + 87360 %e %pi  + 3840 %e %pi) = 0
(%i21) eq4:diff(iyr,a4)=0;
15                  13                  11
(%o21) (2 (1944000 %e %pi   + 12083040 %e %pi   + 20677020 %e %pi
9                 7                 5                3
+ 15117960 %e %pi  + 5551260 %e %pi  + 1070160 %e %pi  + 102720 %e %pi
2                          12
+ 3840 %e %pi) a4 + (- 972000 %e  - 972000 %e + 972000) %pi
2                            10
+ (- 5555520 %e  - 5798520 %e + 5555520) %pi
2                            8
+ (- 7500000 %e  - 8888880 %e + 7500000) %pi
2                            6
+ (- 3461760 %e  - 5336760 %e + 3461760) %pi
2                           4
+ (- 576000 %e  - 1441440 %e + 576000) %pi
2                         2
+ (- 30720 %e  - 174720 %e + 30720) %pi  - 7680 %e)
13                 11                 9                 7
/(486000 %e %pi   + 2899260 %e %pi   + 4444440 %e %pi  + 2668380 %e %pi
5               3
+ 720720 %e %pi  + 87360 %e %pi  + 3840 %e %pi) = 0
(%i22) eq5:diff(iyr,a5)=0;
15                  13                  11
(%o22) (2 (3037500 %e %pi   + 18606375 %e %pi   + 30677010 %e %pi
9                 7                 5                3
+ 21121815 %e %pi  + 7172880 %e %pi  + 1266720 %e %pi  + 111360 %e %pi
2                           12
+ 3840 %e %pi) a5 + (777600 %e  + 1555200 %e + 777600) %pi
2                            10
+ (4514400 %e  + 9277632 %e + 4514400) %pi
2                             8
+ (6388800 %e  + 14222208 %e + 6388800) %pi
2                            6
+ (3247200 %e  + 8538816 %e + 3247200) %pi
2                           4
+ (633600 %e  + 2306304 %e + 633600) %pi
2                         2
+ (38400 %e  + 279552 %e + 38400) %pi  + 12288 %e)
13                 11                 9                 7
/(486000 %e %pi   + 2899260 %e %pi   + 4444440 %e %pi  + 2668380 %e %pi
5               3
+ 720720 %e %pi  + 87360 %e %pi  + 3840 %e %pi) = 0
(%i23) eq6:diff(iyr,a6)=0;
15                  13                  11
(%o23) (2 (4374000 %e %pi   + 26579340 %e %pi   + 42899220 %e %pi
9                 7                 5                3
+ 28459860 %e %pi  + 9154860 %e %pi  + 1506960 %e %pi  + 121920 %e %pi
2                          12
+ 3840 %e %pi) a6 + (- 648000 %e  - 648000 %e + 648000) %pi
2                            10
+ (- 3793680 %e  - 3865680 %e + 3793680) %pi
2                            8
+ (- 5504400 %e  - 5925920 %e + 5504400) %pi
2                            6
+ (- 2946240 %e  - 3557840 %e + 2946240) %pi
2                          4
+ (- 633600 %e  - 960960 %e + 633600) %pi
2                         2
+ (- 46080 %e  - 116480 %e + 46080) %pi  - 5120 %e)
13                 11                 9                 7
/(486000 %e %pi   + 2899260 %e %pi   + 4444440 %e %pi  + 2668380 %e %pi
5               3
+ 720720 %e %pi  + 87360 %e %pi  + 3840 %e %pi) = 0
(%i24) resh:solve([eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6],[a1,a2,a3,a4,a5,a6]);
2                  2
(16 %e  + 32 %e + 16) %pi  + 128 %e
(%o24) [[a1 = - -----------------------------------,
5           3
%e %pi  + 8 %e %pi  + 16 %e %pi
2                2
(2 %e  + 2 %e - 2) %pi  + 2 %e
a2 = ------------------------------, a3 =
5           3
%e %pi  + 2 %e %pi  + %e %pi
2                    2
(144 %e  + 288 %e + 144) %pi  + 128 %e
- --------------------------------------,
5             3
243 %e %pi  + 216 %e %pi  + 48 %e %pi
2                2
(4 %e  + 4 %e - 4) %pi  + %e
a4 = -------------------------------, a5 =
5           3
16 %e %pi  + 8 %e %pi  + %e %pi
2                    2
(400 %e  + 800 %e + 400) %pi  + 128 %e
- ---------------------------------------,
5              3
3125 %e %pi  + 1000 %e %pi  + 80 %e %pi
2                  2
(18 %e  + 18 %e - 18) %pi  + 2 %e
a6 = -----------------------------------]]
5            3
243 %e %pi  + 54 %e %pi  + 3 %e %pi
(%i25) s:subst(resh,yr);
2                  2
((18 %e  + 18 %e - 18) %pi  + 2 %e) sin(3 %pi (x + 1))
(%o25) ------------------------------------------------------
5            3
243 %e %pi  + 54 %e %pi  + 3 %e %pi
2                    2               5 %pi (x + 1)
((400 %e  + 800 %e + 400) %pi  + 128 %e) sin(-------------)
2
- -----------------------------------------------------------
5              3
3125 %e %pi  + 1000 %e %pi  + 80 %e %pi
2                2
((4 %e  + 4 %e - 4) %pi  + %e) sin(2 %pi (x + 1))
+ -------------------------------------------------
5           3
16 %e %pi  + 8 %e %pi  + %e %pi
2                    2               3 %pi (x + 1)
((144 %e  + 288 %e + 144) %pi  + 128 %e) sin(-------------)
2
- -----------------------------------------------------------
5             3
243 %e %pi  + 216 %e %pi  + 48 %e %pi
2                2
((2 %e  + 2 %e - 2) %pi  + 2 %e) sin(%pi (x + 1))
+ -------------------------------------------------
5           3
%e %pi  + 2 %e %pi  + %e %pi
2                  2               %pi (x + 1)
((16 %e  + 32 %e + 16) %pi  + 128 %e) sin(-----------)
2
- ------------------------------------------------------ + x + 2
5           3
%e %pi  + 8 %e %pi  + 16 %e %pi
(%i26) plot2d([s, rhs(extr)],[x, -1, 1]);
plot```
Run Example
```eqn:(Dy)^2+y^2+4*y*exp(x)-x*sin(x);
2       x                  2
(%o1)                    y  + 4 %e  y - x sin(x) + Dy
(%i2) h:diff(eqn,y);
x
(%o2)                             2 y + 4 %e
(%i3)  h1:diff(eqn,Dy);
(%o3)                                2 Dy
(%i4)  euler:h-(diff(h1, x) + diff(h1, y)*Dy+diff(h1, Dy)*'diff(Dy, x))=0;
x     dDy
(%o4)                       2 y + 4 %e  - 2 --- = 0
dx
(%i5) eqn1:subst(Dy='diff(y, x), euler);
2
d y             x
(%o5)                      - 2 --- + 2 y + 4 %e  = 0
2
dx
(%i6)  sol:ode2(eqn1, y, x);
x
(2 x - 1) %e          x         - x
(%o6)               y = ------------- + %k1 %e  + %k2 %e
2
(%i7) extr:bc2(sol, x=-1, y=1, x=1, y=3);
x      3       2               x      2           - x
(2 x - 1) %e    (%e  - 5 %e  - 5 %e - 3) %e    (%e  + 3 %e) %e
(%o7) y = ------------- - ---------------------------- + ------------------
2               3       2                  3     2
2 %e  + 2 %e  + 2 %e + 2     %e  + %e  + %e + 1
(%i8) x1:-1;
(%o8)                                 - 1
(%i9) y1:1;
(%o9)                                  1
(%i10) x2:1;
(%o10)                                 1
(%i11) y2:3;
(%o11)                                 3
(%i12) I:y;
(%o12)                                 y
(%i13) L:eqn+%l*y;
2       x                         2
(%o13)               y  + 4 %e  y + %l y - x sin(x) + Dy
(%i14) lh:diff(L,y);
x
(%o14)                         2 y + 4 %e  + %l
(%i15) lh1:diff(L,Dy);
(%o15)                               2 Dy
(%i16) eulerL:lh-(diff(lh1, x) + diff(lh1, y)*Dy+diff(lh1, Dy)*'diff(Dy, x))=-3;
x     dDy
(%o16)                  2 y + 4 %e  - 2 --- + %l = - 3
dx
(%i17) eqn2:subst(Dy='diff(y, x), eulerL);
2
d y             x
(%o17)                 - 2 --- + 2 y + 4 %e  + %l = - 3
2
dx
(%i18) sol1:ode2(eqn2, y, x);
x
(2 x - 1) %e  - %l - 3         x         - x
(%o18)         y = ---------------------- + %k1 %e  + %k2 %e
2
(%i19) ur1:subst([x=x1,y=y1],sol1);
- 1
- %l - 3 %e    - 3              - 1
(%o19)            1 = ------------------ + %e %k2 + %e    %k1
2
(%i20) ur2:subst([x=x2,y=y2],sol1);
- %l + %e - 3     - 1
(%o20)              3 = ------------- + %e    %k2 + %e %k1
2
(%i21) Dsol1:diff(sol1,x);
x       x
(2 x - 1) %e  + 2 %e          x         - x
(%o21)          0 = --------------------- + %k1 %e  - %k2 %e
2
(%i22) ir:integrate(subst(y=rhs(sol1),I),x,x1,x2)=1.5;
(%o22)
- 1                     2                 2          2
%e    (2 %e %l + (2 - 2 %e ) %k2 + (2 - 2 %e ) %k1 + %e  + 6 %e - 5)
- -------------------------------------------------------------------- = 1.5
2
(%i23) solve1:solve([ur1,ur2,ir],[%k1,%k2,%l]);

rat: replaced -1.5 by -3/2 = -1.5
3       2
2 %e  - 3 %e  - 11 %e - 14
(%o23) [[%k1 = - --------------------------,
8 %e + 8
3       2
2 %e  - 3 %e  - 15 %e - 2
%k2 = - -------------------------, %l =
8 %e + 8
- 1      4       3       2
%e    (2 %e  - 5 %e  - 8 %e  + 23 %e - 2)
- -----------------------------------------]]
4
(%i24) resh:subst(solve1,sol1);
- 1      4       3       2
x   %e    (2 %e  - 5 %e  - 8 %e  + 23 %e - 2)
(2 x - 1) %e  + ----------------------------------------- - 3
4
(%o24) y = -------------------------------------------------------------
2
3       2                 x        3       2                - x
(2 %e  - 3 %e  - 11 %e - 14) %e    (2 %e  - 3 %e  - 15 %e - 2) %e
- -------------------------------- - ---------------------------------
8 %e + 8                           8 %e + 8
(%i25) plot2d([rhs(resh), rhs(extr)],[x, -1, 1]);
plot```
Run Example
```euler (50);
(%o1)      - 6053285248188621896314383785111649088103498225146815121
(%i2) ```

Help for Euler